Конспект
Нарисуйте в воображении обычный квадрат. А теперь попробуйте увидеть в нём правильный пятиугольник — пятиконечную звезду, ту самую, что украшает кремлёвские башни. Не получается? Не расстраивайтесь. Целый зал любознательных людей на Кипре полтора часа честно искал эту звезду — и многие нашли её только в самом конце, когда учитель математики Юрий Подкопаев провёл линию за линией прямо на экране. И вот что любопытно: как только вы её увидите, развидеть уже не сможете. Она будет смотреть на вас с картинки всегда. Ровно так же работает и геометрическая задача: пока не сделан первый, непонятный ход — кажется, что решения нет вовсе. А потом всё складывается само.
Математика как способ смотреть на мир под разными углами
Начнём с задачки для четвёртого класса, которая на самом деле про взрослых. Перед вами строчка чисел, и нужно найти лишнее. Школьник Даня мгновенно выкидывает 790 — единственное трёхзначное. Хорошо. А теперь по другому признаку: лишним становится 67973, потому что оно единственное нечётное, остальные делятся на два. Одна и та же строчка — два разных «лишних». В следующей строчке 27 выпадает, потому что только оно не степень двойки (двойка, умноженная сама на себя сколько угодно раз, никогда не даст 27). А потом восьмёрку можно объявить лишней просто потому, что она самая маленькая.
Звучит как игра, но за ней спрятано важнейшее умение — гибкость мышления. Любую последовательность можно обосновать по-разному, посмотреть на неё с нескольких сторон и вычленить разное. И если родители вдруг добавляют вам к домашке лишнее задание со словами «а давай-ка ещё один признак найдём» — соглашайтесь. Они хотят хорошего.
Задачи, у которых нет правильного ответа — и это нормально
«Сколько человек успеет купить билеты?» — спрашивает условие. И зал справедливо возмущается: данных недостаточно! Сколько секунд тратит один человек? Сколько работает касс? Когда начинается сеанс? Все эти вопросы — не баг, а фича. Это целый класс так называемых задач Ферми, которые любят задавать на собеседованиях в IT-компаниях.
Попробуйте на вкус классику жанра: сколько людей в крупном городе зарабатывают на жизнь исключительно настройкой пианино? Берём город на 300 тысяч жителей. Допустим, пианино есть у каждой двадцатой семьи и настраивать его нужно дважды в год — получаем около 30 тысяч настроек. Один настройщик за день осиливает пианино два (киприот, шутит лектор, будет настраивать одно несколько дней). Работает он 300 дней в году. Считаем — и выходит около 50 человек. Мы наверняка ошиблись в каждом допущении. Но стоит редактору шепнуть «пианино не у каждого двадцатого, а у каждого пятого» — и мы всё мгновенно пересчитываем. Способ, которым вы подходите к задаче, оказывается важнее, чем сам ответ.
Когда данных как будто не хватает — а на самом деле всё есть
А вот тут будьте бдительны. Перед вами ступенчатая фигура, у которой подписаны не все стороны. Большинство снова машет рукой: данных мало! И ошибается. Главная мысль дня: нужно научиться отличать задачи, где данных правда не хватает, от задач, где их достаточно, просто решение прячется.
Секрет здесь — в идее, которая позже превратится в работу с векторами. Не нужно складывать стороны по одной. Достаточно понять: если контур замкнут, то сколько бы вы ни прошли вправо, ровно столько же придётся пройти влево, чтобы вернуться. Семь плюс три — десять вправо, значит, и десять влево. Десять вверх, десять вниз. Итого периметр — сорок. Никаких недостающих данных, чистая логика замкнутого пути.
Откуда берётся площадь — от треугольника до круга
Площадь треугольника многие зубрят как «половина основания на высоту», не понимая, откуда взялась эта половина. А получается она изящно: впишите треугольник в прямоугольник со сторонами a и b, площадь которого равна a умножить на b. Проведите внутри вертикальный разрез — и увидите, что половинки треугольника в точности совпадают с пустыми кусочками прямоугольника. Значит, треугольник занимает ровно половину. Вот и вся формула.
А дальше начинается красота. Возьмите треугольник с площадью один и попробуйте найти площадь маленького кусочка внутри, если точки делят стороны на равные части. Зал предлагал 1/12, 1/6, 1/5 и даже половину. Правильный ответ — 1/6, и доказывается он через те же одинаковые высоты и основания. А самое поразительное — этот же приём масштабируется до круга. Представьте, что вы режете заполненный круг, как кочан капусты, тонкими дольками от края к центру и раскладываете их в ряд. Получается треугольник: основание — длина окружности, высота — радиус. Половина основания на высоту — и вот она, формула площади круга, без единого пугающего «пи» в момент вывода.
Метод вдумчивого всматривания
Самые любимые задачи лектора те, где не нужны уравнения — нужно просто увидеть. Робин Гуд стреляет в три кольцевые мишени и набирает 29, 43 и 47 очков. Сколько он наберёт в четвёртой? Взрослые тут же тянутся к системе уравнений с тремя переменными — и зря. Достаточно мысленно наложить первые две мишени друг на друга: получится по два попадания в каждое кольцо, в сумме 72. Делим пополам — и вот ответ для одной полной мишени. Дети младшего возраста, кстати, решают это быстрее взрослых.
Или задача про яблоки. У Вики столько же яблок, сколько у всех остальных вместе — значит, у неё ровно половина. У Любы в три раза меньше, чем у остальных — значит, четверть. Дальше Света — одна восьмая, и остаётся Диана с десятью яблоками. Нарисуйте круг, разложите по долям — и неприятные дроби складываются в очевидную картинку. Это, по словам Юрия, тот тип задач, на которых стоило бы строить весь курс математики, а всё остальное считать побочным. Как говорил один учитель своим ученикам, требовавшим объяснить, что делать: «Применяйте метод вдумчивого всматривания. Посмотрите так, переверните задание, уберите одно условие, верните другое — и думайте».
17 лошадей, замки на мосту и то, что до сих пор не доказано
А вот старинная задача-обманка от итальянца Тартальи. Отец завещал троим сыновьям 17 лошадей: половину старшему, треть среднему, девятую часть младшему. Беда в том, что 17 не делится ни на что из этого. Мудрец добавляет в табун свою собственную лошадь — становится 18. Девять достаются старшему, шесть среднему, две младшему. Раздали 17, а восемнадцатая, своя, благополучно возвращается мудрецу. Все живы, хотя — обратите внимание — решение нечестное: сыновья получили доли не от 17, а от 18 лошадей. Это задача-шутка, но сам факт, что числа так удачно подобраны, завораживает.
И напоследок — напоминание о том, что в математике остаётся ещё уйма неразведанного. Возьмите задачу о том, в какой минимальный квадрат можно упаковать несколько единичных квадратиков. Для семнадцати штук оптимальное решение математики доказали аж в 1997 году — доказали, что меньше невозможно. А вот для одиннадцати квадратиков ответ до сих пор не найден. Несмотря на все ChatGPT и вычислительные мощности, там стоит честный знак вопроса — задача для будущих поколений. Так что если вам кажется, будто в математике всё давно решено, — присмотритесь повнимательнее. Где-то там, между семнадцатью и одиннадцатью квадратиками, вас ждёт нерешённая загадка. И, может быть, та самая пятиконечная звезда, которую вы наконец-то научитесь видеть.
